Question

14．命题p：“?x₀∈[0，$\frac{π}{4}$]，sin2x₀+cos2x₀＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＜1
• B． a＜$\sqrt{2}$
• C． a≥1
• D． a≥$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 特称命题转化为全称命题，求出sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：“?x₀∈[0，$\frac{π}{4}$]，sin2x₀+cos2x₀＞a”是假命题，
即?x∈[0，$\frac{π}{4}$]，sin2x+cos2x≤a是真命题，
由sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤a，
得：sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
由x∈[0，$\frac{π}{4}$]得：2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最大值是1，
故只需$\frac{a}{\sqrt{2}}$≥1，解得：a≥$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了特称命题转化为全称命题，考查三角函数问题，是一道中档题．