Question

设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立？若存在，试求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：解法一：由条件得1-ax-x²＜2-a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x²+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；
解法二：由1-ax-x²＜2-a，得（1-x）a＜x²+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．

解答：解法一：由条件得1-ax-x²＜2-a对于x∈[0，1]恒成立
令g（x）=x²+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．
g（x）=x²+ax-a+1=（x+

a

2

）²-

a2

4

-a+1．
①当-

a

2

＜0，即a＞0时，g（x）_min=g（0）=1-a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；
②当0≤-

a

2

≤1，即-2≤a≤0时，g（x）_min=g（-

a

2

）=-

a2

4

-a+1＞0，∴-2-2

2

＜a＜-2+2

2

，故-2≤a≤0；
③当-

a

2

＞1，即a＜-2时，g（x）_min=g（1）=2＞0，满足，故a＜-2．
故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．
解法二：由1-ax-x²＜2-a得（1-x）a＜x²+1，
∵x∈[0，1]，∴1-x≥0，
∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；
②当x∈[0，1）时，a＜

x2+1

1-x

恒成立．
求当x∈[0，1）时，函数y=

x2+1

1-x

的最小值．
令t=1-x（t∈（0，1]），则y=

x2+1

1-x

=

(1-t)2+1

t

=t+

2

t

-2，
而函数y=t+

2

t

-2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，y_min=1．
故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，
由①②得a＜1．
故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．

点评：本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，考查分离参数法的运用，属于中档题．