试题分析:(1)设{a
n}的公差为d,根据题意建立关于d与{b
n}首项b
1的方程组,解之可得b
1=d=2,从而得到a
n与b
n的表达式;
(2)由(1)得a
nb
n=(2n+1)2
n,利用错位相减法结合等比数列的求和公式,即可算出{a
nb
n}的前n项和T
n的表达式;
(3)根据等差数列的前n项和的表达式,化简得到C
n=
=
=
,从而利用裂项求和的方法求出C
1+C
2+C
3+…+C
n=1﹣
,得到当n=1时它的最小值为
.因此原不等式恒成立,即
≥m
2﹣
,解之得﹣
≤m≤
,可得实数m的取值范围.
解:(1)设{a
n}的公差为d,则
,解之得b
1=d=2
∴数列{a
n}的通项为a
n=3+2(n﹣1)=2n+1;数列{b
n}的通项为b
n=2
n(2)由(1)得a
nb
n=(2n+1)2
n∴T
n=3×2+5×2
2+7×2
3+…+(2n+1)2
n两边都乘以2,得2T
n=3×2
2+5×2
3+7×2
4+…+(2n+1)2
n+1,
两式相减,得
﹣T
n=6+2(2
2+2
3+…+2
n)﹣(2n+1)2
n+1,
=6+
﹣(2n+1)2
n+1=﹣2+(1﹣2n)2
n+1,
∴T
n=(2n+1)2
n+1+2
(3)S
n=3n+
×2=n
2+2n
∴C
n=
=
=
由此可得C
1+C
2+C
3+…+C
n=(1﹣
)+(
)+…+(
)=1﹣
因此,当n=1时,C
1+C
2+C
3+…+C
n的最小值为
∵不等式C
1+C
2+C
3+…+C
n≥m
2﹣
对任意正整数n恒成立,
∴
≥m
2﹣
,解之得﹣
≤m≤
,即实数m的取值范围是[﹣
,
].
点评:本题给出等差、等比数列,求它们的通项公式并求{a
nb
n}的前n项和T
n的表达式,讨论与之有关的不等式恒成立的问题.着重考查了等差等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法与裂项求和的方法和不等式恒成立等知识点,属于中档题.