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已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,公比q=2,且a2b2=20,a3b3=56,
(1)求an与bn
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn
(3)记Cn=,若C1+C2+C3+…+Cn≥m2对任意正整数n恒成立,求实数m 的取值范围.
(1)an=2n+1; bn=2n(2)Tn=(2n+1)2n+1+2(3)[﹣]

试题分析:(1)设{an}的公差为d,根据题意建立关于d与{bn}首项b1的方程组,解之可得b1=d=2,从而得到an与bn的表达式;
(2)由(1)得anbn=(2n+1)2n,利用错位相减法结合等比数列的求和公式,即可算出{anbn}的前n项和Tn的表达式;
(3)根据等差数列的前n项和的表达式,化简得到Cn===,从而利用裂项求和的方法求出C1+C2+C3+…+Cn=1﹣,得到当n=1时它的最小值为.因此原不等式恒成立,即≥m2,解之得﹣≤m≤,可得实数m的取值范围.
解:(1)设{an}的公差为d,则
,解之得b1=d=2
∴数列{an}的通项为an=3+2(n﹣1)=2n+1;数列{bn}的通项为bn=2n
(2)由(1)得anbn=(2n+1)2n
∴Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)2n
两边都乘以2,得2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)2n+1
两式相减,得
﹣Tn=6+2(22+23+…+2n)﹣(2n+1)2n+1
=6+﹣(2n+1)2n+1=﹣2+(1﹣2n)2n+1
∴Tn=(2n+1)2n+1+2
(3)Sn=3n+×2=n2+2n
∴Cn===
由此可得C1+C2+C3+…+Cn=(1﹣)+()+…+()=1﹣
因此,当n=1时,C1+C2+C3+…+Cn的最小值为
∵不等式C1+C2+C3+…+Cn≥m2对任意正整数n恒成立,
≥m2,解之得﹣≤m≤,即实数m的取值范围是[﹣].
点评:本题给出等差、等比数列,求它们的通项公式并求{anbn}的前n项和Tn的表达式,讨论与之有关的不等式恒成立的问题.着重考查了等差等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法与裂项求和的方法和不等式恒成立等知识点,属于中档题.
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