Question

17．在△ABC中，三边长a，b，c满足a+c=3b，则tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理以及和差化积以及半角公式，转化求解所求表达式的值即可．

解答 解：由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
而a+c=3b 即2RsinA+2RsinC=3×2RsinB，
∴sinA+sinC=3sinB，
∵π-B=A+C，∴sinB=sin（π-B）=sin（A+C）
根据和差化积公式：sinA+sinC=2sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$）cos（$\frac{A}{2}$-$\frac{C}{2}$），
倍角公式：sin（A+C）=2sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$）cos（$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$）
则2sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$）cos（$\frac{A}{2}$-$\frac{C}{2}$）=2x3sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$）cos（$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$）
即cos（$\frac{A}{2}$-$\frac{C}{2}$）=3cos（$\frac{A}{2}$+$\frac{C}{2}$），
∴cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$=3[cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$]
两边同时除以cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
得：1+tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=3[1-tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$]，
tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查正弦定理的应用，和差化积以及二倍角公式的应用，考查计算能力．