Question

15．数列{a_n}是等差数列，a_n≠0，则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+（n-1）d}$）．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公比为d，通过裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$═$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：设等差数列{a_n}的公比为d，则a_n+1=a_n+d，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+d）}$
=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+（n-1）d}$），
故答案为：$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+（n-1）d}$）．

点评 本题考查等差数列的性质，及数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．