Question

7．在△ABC中，已知$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{b}{a}$=$\frac{2014}{2015}$，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 方法一、把由余弦定理解出的余弦表达式代入已知的等式化简可得：（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），由a≠b，即可得到结论；
方法二、根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°，由a≠b，答案可得．

解答 解法一：由$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{b}{a}$=$\frac{2014}{2015}$，可得
acosA=bcosB（a≠b），
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$•a=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$•b，
化简得：a²c²-a⁴=b²c²-b⁴，即（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），
由a≠b，则a²+b²=c²，△ABC是直角三角形，
所以△ABC是直角三角形．
解法二：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
由a≠b，即A≠B，
所以△ABC为直角三角形．

点评 本题考查三角形的形状的判断，考查正弦定理和余弦定理的运用，考查化简整理的能力，属于中档题．