Question

1．已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与$\frac{a_j}{a_i}$两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：a₁=1，且$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{{a_1^{-1}+a_2^{-1}+…+a_n^{-1}}}={a_n}$；
（3）当n=5时，若a₂=2，求集合A．

Answer 1

分析 （1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与$\frac{a_j}{a_i}$两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（2）由性质P，知a_na_n＞a_n，故a_na_n∉A，从而1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$∈A，a₁=1．再验证又由于$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$＜…＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=a₂，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=a_n-1，从而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=a₁+a₂+…+a_n，命题得证；
（3）根据（2），只要证明$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a₂即可求得集合A．

解答 解：（1）由于3×4，与$\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}$均不属于数集{1，3，4}，
∴该数集不具有性质P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，$\frac{6}{2}$，$\frac{6}{3}$，$\frac{1}{1}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{3}$，都属于数集{1，2，3，6}，
∴该数集具有性质P．
（2）证明：∵A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P，
∴a_na_n与$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$中至少有一个属于A，
由于1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，∴a_na_n＞a_n
故a_na_n∉A．
从而1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$∈A，a₁=1．
∵1=a₁＜a₂＜…a_n，n≥2，∴a_ka_n＞a_n（k=2，3，4，…，n），
故a_ka_n∉A（k=2，3，4，…，n）．
由A具有性质P可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{k}}$∈A（k=2，3，4，…，n）．
又∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$＜…＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=a₂，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=a_n-1，
从而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=a₁+a₂+…+a_n，
∴$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{{a_1^{-1}+a_2^{-1}+…+a_n^{-1}}}={a_n}$；
（3）由（2）知，当n=5时，
有$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=a₂，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=a₃，即a₅=a₂•a₄=a₃²，
∵1=a₁＜a₂＜…＜a₅，∴a₃a₄＞a₂a₄=a₅，∴a₃a₄∉A，
由A具有性质P可知$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A．
由a₂•a₄=a₃²，得$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A，
且1＜$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=a₂，∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=a₂，
∴$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a₂
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅ 是首项为1，公比为a₂等比数列，
即有集合A={1，2，4，8，16}．

点评 本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．