Question

12．已知函数f（x）=1nx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1，a∈R，讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+1-a=$\frac{（x+1）（-ax+1）}{x}$，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性．

解答 解：f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+1-a=$\frac{（x+1）（-ax+1）}{x}$；
①当a≤0时，-a≥0，故f′（x）＞0；故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，令f′（x）＞0知，当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0；
当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减．

点评 本题考查了导数的综合应用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．