Question

17．数列{a_n}中，a₁=1，对任意n∈N^*，有a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$．
（1）求a₄；
（2）求该数列的通项公式a_n；
（3）若b_n=a_n•a_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，对任意n∈N^*，有a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$．分别取n=1，2，3，即可得出．
（2）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，两边取倒数：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，对任意n∈N^*，有a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$．
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{{a}_{2}}{1+{a}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{{a}_{3}}{1+{a}_{3}}$=$\frac{1}{4}$．
（2）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，两边取倒数：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，解得a_n=$\frac{1}{n}$．
（3）b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．