Question

4．如图所示，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦BC于点F，且交⊙O于点E，若BD是⊙O的切线且∠BDO=∠EAB．
（Ⅰ）求证：AB∥CE；
（Ⅱ）当OF=1cm，FD=3cm时，求∠OEC的度数和CE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明∠ABC=∠EAB，可得$\widehat{AC}$=$\widehat{BE}$，即可证明AB∥CE；
（Ⅱ）当OF=1cm，FD=3cm时，求出OB，即可求∠OEC的度数，证明OACE是平行四边形，即可求出CE的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
∵OD⊥BC，
∴∠ABC=∠BDO，
∵∠BDO=∠EAB，
∴∠ABC=∠EAB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BE}$，
∴AB∥CE；
（Ⅱ）解：∵OF=1cm，FD=3cm，
∴OB²=OF•OD=4，
∴OB=2，
∵OF=1，
∴∠BOF=60°，
∵AB∥CE，
∴∠OEC=∠BOF=60°
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴AC∥OE，
∵AB∥CE，
∴OACE是平行四边形，
∴CE=OA=2cm．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查射影定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．