Question

14．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{（2n）^{2}}{（2n-1）×（2n+1）}$，那么数列{a_n}的前n项和S_n=n+$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 利用平方差公式、裂项可知a_n=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{（2n）^{2}}{（2n-1）×（2n+1）}$
=$\frac{（2n-1）（2n+1）+1}{（2n-1）（2n+1）}$
=1+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=n+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=n+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=n+$\frac{n}{2n+1}$，
故答案为：n+$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的求和，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．