Question

9．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1-f（x），其中f′（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数，则下列正确的是（　　）

• A． ef（1）-e＞e²f（2）-e²
• B． e²⁰¹⁵f（2015）-e²⁰¹⁵＞e²⁰¹⁶f（2016）-e²⁰¹⁶
• C． e²f（2）+e²＞ef（1）+e
• D． e²⁰¹⁶f（2016）+e²⁰¹⁶＜e²⁰¹⁵f（2015）+e²⁰¹⁵

Answer 1

分析 根据选项中的不等式的形式可以想到构造一函数：设g（x）=e^xf（x）-e^x，求导数，根据条件可以判断g′（x）＞0，从而得出g（x）在R上单调递增，从而便可判断A，B错误；而同理构造函数：h（x）=e^xf（x）+e^x，通过求导数，便可判断出h（x）在R上单调递增，这样便可判断选项C，D的正误，从而找出正确答案．

解答 解：设g（x）=e^xf（x）-e^x，g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]；
∵f′（x）＞1-f（x）；
∴f（x）+f′（x）-1＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在R上是增函数；
∴g（1）＜g（2），即ef（1）-e＜e²f（2）-e²，∴A错误；
g（2015）＜g（2016），∴B错误；
同理，设h（x）=e^xf（x）+e^x，由g′（x）＞0得，h′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）+e^x＞0；
∴h（x）在R上单调递增；
∴h（2）＞h（1），h（2016）＞h（2015），∴C正确．
故选：C．

点评 考查通过构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及增函数定义的运用，通过观察选项中不等式的形式，从而构造函数是本题的关键，并要正确求导．