Question

19．设函数f（x）=（2-t）•2^x+（t-3）．其中t为常数，且t∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）求函数g（x）=$\frac{f（x）}{{4}^{x}}$在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由代入法，计算即可得到所求值；
（2）由指数函数的单调性，令m=2^-x，则h（m）=（2-t）m+（t-3）m²，对t讨论，注意对称轴和区间的关系，结合单调性，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）f（0）=（2-t）•2⁰+（t-3）=2-t+t-3=-1；
（2）函数g（x）=$\frac{f（x）}{{4}^{x}}$=（2-t）•2^-x+（t-3）•4^-x，
由0≤x≤1，可得2^-x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
令m=2^-x，则h（m）=（2-t）m+（t-3）m²，
当t=3时，h（m）=-m在[$\frac{1}{2}$，1]递减，即有h（1）=-1为最小值；
当t＜3时，对称轴m=$\frac{t-2}{2（t-3）}$＜$\frac{1}{2}$，区间[$\frac{1}{2}$，1]为减区间，
h（1）取得最小值，且为-1；
当3＜t≤4，对称轴m=$\frac{t-2}{2（t-3）}$＞1，区间[$\frac{1}{2}$，1]为减区间，
h（1）取得最小值，且为-1；
当t＞4时，对称轴m=$\frac{t-2}{2（t-3）}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，在x=$\frac{t-2}{2（t-3）}$处取得最小值，
且为-$\frac{（t-2）^{2}}{4（t-3）}$．
综上可得，当t≤4时，g（x）的最小值为-1；
当t＞4时，g（x）的最小值为-$\frac{（t-2）^{2}}{4（t-3）}$．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，同时考查指数函数的单调性的运用，属于中档题．