Question

19．数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=12，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-3a_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*）变形可知a_n+1-3a_n=3（a_n-3a_n-1），进而可知数列{b_n}是以9为首项、3为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹，两边同时除以3ⁿ⁺¹可知$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项、1为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-3a_n=3（a_n-3a_n-1），
又∵a₂-3a₁=12-3=9，
∴数列{b_n}是以9为首项、3为公比的等比数列，
∴b_n=9•3^n-1=3ⁿ⁺¹；
（2）解：由（1）可知a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{3{a}_{n}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}$+n-1=$\frac{3n-2}{3}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=（3n-2）•3^n-1．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．