Question

20．以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位，已知点N的极坐标为（2，$\frac{π}{2}$），M是曲线C：p²•（cos²θ-sin²θ）+1=0上任意一点，点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，设点P的轨迹为曲线Q．
（1）求曲线Q的直角坐标方程；
（2）若直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线Q的交点为A、B，求|AB|的长．

Answer 1

分析 （1）点N的极坐标为（2，$\frac{π}{2}$），化为直角坐标（0，2）．曲线C：p²•（cos²θ-sin²θ）+1=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化为直角坐标方程．设P（x，y），M（x₁，y₁），由点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=y-2}\end{array}\right.$．代入M的直角坐标方程即可得出．
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）化为y-2=$\sqrt{3}$（x+2），代入曲线Q方程即可得出．

解答 解：（1）点N的极坐标为（2，$\frac{π}{2}$），化为直角坐标（0，2）．
曲线C：p²•（cos²θ-sin²θ）+1=0，化为直角坐标方程：x²-y²+1=0．
设P（x，y），M（x₁，y₁），∴${x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}$=1．（*）
∵点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y=2+{y}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=y-2}\end{array}\right.$．
代入（*）可得：x²-（y-2）²+1=0，即可得出点P的轨迹曲线Q．
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）化为y-2=$\sqrt{3}$（x+2），
代入x²-（y-2）²+1=0，化为2x²+12x+11=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=-6，x₁x₂=$\frac{11}{2}$．
则|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{4×（{6}^{2}-4×\frac{11}{2}）}$=2$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、向量坐标运算、直线与曲线相交弦长问题、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．