Question

【题目】已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含的项；

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)－16.(3)答案见解析.

【解析】试题分析：

(1)利用赋值法，令 可得展开式中各项系数的和是1.

(2)首先写出通项公式，据此可得展开式中含的项是－16.

(3)由题意求解不等式即可求得系数最大的项和二项式系数最大的项分别为T7＝1 792和T5＝1 120.

试题解析：

由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.

(2)通项公式＝ ＝ ，

令－2k＝，则k＝1，故展开式中含的项为T2＝－16.

(3)设展开式中的第k项，第k＋1项，第k＋2项的系数绝对值分别为

， ， ，

若第k＋1项的系数绝对值最大，则解得5.

又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792.

由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1 120.