Question

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4，g（x）=

ax+1

x+1

，（a≥0）
（1）求函数y=f（x）的最小值m（a）；
（2）讨论函数y=g（x）的单调性
（3）若对任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），对a分类讨论分a≥2与0≤a＜2，即可得出最小值；
（2）利用导数和对a分类讨论即可得出；
（3）对任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立?在区间[0，2]上，f（x）_min＞g（x）_max成立．
通过对a分类讨论即可．

解答：解：（1）f′（x）=2（x-a）．
①a≥2时，f′（x）≤0，函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴m（a）=f（2）=4-4a+4=8-4a；
②0≤a＜2，令f′（x）=0，解得x=a，∴f（x）在x=a出去的极小值，即最小值，∴m（a）=f（a）=4-a²．
综上可得：m（a）=

8-4a，a≥2 4-a2，0≤a＜2

．
（2）g′(x)=

a-1

(x+1)2

．（x≠-1）
∴①0≤a＜1时，g′（x）＜0，∴g（x）在区间[0，2]上单调递减；
②a=1时，g（x）=1（x≠1）是常数函数；
③a＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）分别在区间[0，2]上单调递增．
（3）∵对任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，
∴在区间[0，2]上，f（x）_min＞g（x）_max成立．
①0≤a≤1时，f(x)min=4-a2，g（x）_max=g（0）=1，∴4-a²＞1，又0≤a≤1，解得0≤a≤1；
②1＜a＜2时，f(x)min=4-a2，g(x)max=g(2)=

2a+1

3

，∴4-a2＞

2a+1

3

，及1＜a＜2，解得1＜a＜

34 -1

3

；
③a≥2时，f（x）_min=8-4a，g(x)max=g(2)=

2a+1

3

，∴8-4a＞

2a+1

3

，又a≥2，解得a∈∅．
综上可知：a的取值范围是[0，

34 -1

3

）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．