Question

通过研究学生的学习行为，心理学家发现：学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一小段时间，学生的兴趣保持较理想状态，随后学生的注意力开始分散．研究结果表明：若用f(x)表示学生接受和掌握概念的能力(f(x)的值越大，表示接受的能力越强)，用x表示提出和讲授概念的时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f(x)＝

(1)讲课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后20分钟比较，何时学生的接受能力更强？

(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否在学生一直处于所需接受能力的状态下讲完这个难题？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1×(x－13)2＋59.9，此时f(x)是增函数，且最大值为f(10)＝59； 　　当10＜x≤16时，f(x)＝59，是常数； 　　当16＜x≤30时，f(x)是减函数，所以f(x)＜－3×16＋107＝59． 　　因此，讲课开始后10分钟，学生的接受能力最强(值为59)，并能维持6分钟． 　　(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5； 　　f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5． 　　所以，讲课开始后5分钟，学生的接受能力比讲课开始后20分钟更强． 　　(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则－0.1x2＋2.6x＋43＝55，解得x＝6，或x＝20(舍)； 　　当10＜x≤16时，f(x)＝59＞55，学生的接受能力满足要求； 　　当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55，解得x＝17． 　　所以，学生达到或超过55的接受能力的时间段是：从讲课开始后6分钟到第17分钟，长度为11(分钟)＜13(分钟)， 　　因此，老师不能在学生一直处于所需接受能力的状态下讲完这个难题． 　　点评：解本题的关键是善于根据分段函数的解析式读取信息：先分类讨论各段上函数的单调性和最值；再合并为整个函数的性质；最后由性质作出判断，解决实际问题．