Question

已知a＞0．且a≠1，数列｛an｝是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn＝anlgan(n∈N*)． (1) 求数列｛bn｝的前n项的和Sn (2) 若数列｛bn｝中的每一项总小于它后面的项，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由题设an＝a·an+1＝an，则bn＝anlgan＝anlgan＝nanlga 　　从而Sn＝alga＋2a2lga＋3a3lga＋…＋nanlga＝(1＋2a＋3a2＋…＋nan－1)alga． 　　令Tn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1，则aTn＝a＋2a2＋…＋(n－1)an－1＋nan． 　　两式相减得(1－a)Tn＝1＋a＋a2＋…＋an+1－nan＝－nan＝． 　　因为a≠1，所以Tn＝，所以Sn＝．
(2)	设bk+1＞bk(k∈N*)，则(k＋1)ak+1lga＞kaklga．因为ak＞0，所以［k(a－1)＋a］lga＞0． 　　当a＞1时，lga＞0，由k(a－1)＋a＞0，解得k＞ 　　当0＜a＜1时，lga＜0，由k(a－1)＋a＜0，解得k＞． 　　为了使不等式对一切正整数都成立，只需要小于k的最小值1． 　　当a＞1时，＜1恒成立；当0＜a＜1时，＜1，解得0＜a＜． 　　综上所述，a＞1或0＜a＜． 　　点评：(1)求Tn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1的和的思路为错位相消求和．错位相消求和的最基本的形式为数列｛an｝是等差数列，数列｛bn｝是等比数列，求数列｛anbn｝的前n项的和．(2)在解不等式bk+1＞bk(k∈N*)时，首先要看成是关于k的不等式，求出k的解集k＞，因对任意非零自然数k均成立，再 转化为关于a的不等式，求出a的取值范围．