【题目】如图所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且,|BC|=2|AC|.
(1)求椭圆E的方程;
(2)在椭圆E上是否存点Q,使得?若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由.
(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作的两条切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:为定值.
【答案】(1)(2)满足条件的点Q存在,且有两个(3)见解析,
【解析】试题分析:(1)依题意有,再根据几何条件得三角形AOC为等腰直角三角形,即得点C的坐标,代入椭圆方程可得,(2)先用坐标化简,得点Q在直线上,再根据直线与椭圆位置关系确定交点个数,即得满足条件的点Q个数,(3)设点,先利用两圆公共弦求切点弦MN方程,解得截距,根据点P在椭圆上化简,得定值.
试题解析:(1)依题意知:椭圆的长半轴长,则A(2,0),
设椭圆E的方程为
由椭圆的对称性知|OC|=|OB| 又∵,|BC|=2|AC|
∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形,
∴点C的坐标为(1,1),点B的坐标为(-1,-1) ,
将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得
∴所求的椭圆E的方程为
(2)设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则
即点Q在直线上,
∴点Q即直线与椭圆E的交点,
∵直线过点,而点椭圆在椭圆E的内部,
∴满足条件的点Q存在,且有两个.
(3)设点,由M、N是的切点知,,
∴O、M、P、N四点在同一圆上,
且圆的直径为OP,则圆心为,
其方程为,
即-----④
即点M、N满足方程④,又点M、N都在上,
∴M、N坐标也满足方程---------------⑤
⑤-④得直线MN的方程为,
令得,令得,
∴,又点P在椭圆E上,
∴,即=定值.
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【题目】随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类,得到的数据如下表所示:
男 | 女 | 总计 | |
认为共享产品对生活有益 | 400 | 300 | 700 |
认为共享产品对生活无益 | 100 | 200 | 300 |
总计 | 500 | 500 | 1000 |
(1)根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为共享产品的态度与性别有关系?
(2)为了答谢参与问卷调查的人员,该公司对参与本次问卷调查的人员随机发放1张超市的购物券,购物券金额以及发放的概率如下:
购物券金额 | 20元 | 50元 |
概率 |
现有甲、乙两人领取了购物券,记两人领取的购物券的总金额为,求的分布列和数学期望.
参考公式: .
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心为,半径为1的圆.
(1)求曲线, 的直角坐标方程;
(2)设为曲线上的点, 为曲线上的点,求的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,已知点为曲线上的动点,点在线段上,且满足,动点的轨迹为.
(1)求的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求的面积的最大值.
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【题目】在四面体S﹣ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为
A. 11π B. C. D.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
(2)通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
参考格式:,其中
0.025 | 0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 2.072 | 6.635 | 7.879 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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