Question

14．已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置，点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．
（I）求证：AC₁⊥BD；
（Ⅱ）当EM=$\sqrt{6}$时，求三棱锥B-EFM的体积．

Answer 1

分析 （I）根据菱形的对角线相互垂直，得到C₁O⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面AOC₁，从而得到平面AC₁O内的直线AC₁BD．
（Ⅱ）求出E到平面BFM的距离，利用V_B-EFM=V_E-BMF，结合体积公式，即可求三棱锥B-EFM的体积．

解答 （I）证明：在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．   
连接AO，C₁O
∴在三棱锥C₁-ABD中，C₁O⊥BD，AO⊥BD．
又 C₁O∩AO=O，
∴BD⊥平面AOC₁．           
又∵AC₁?平面AOC₁，
∴BD⊥AC₁．         
（Ⅱ）解：取OB的中点N，连接MN，EN，则EN=MN=$\sqrt{3}$，
∵EM=$\sqrt{6}$，
∴∠MNE=90°，
∴E到平面BFM的距离为ENsin90°=$\sqrt{3}$
∴V_B-EFM=V_E-BMF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题根据一个平面图形的翻折，求证线线垂直，求三棱锥B-EFM的体积．着重考查线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．