Question

设等差数列{a_n}的首项a₁为a，前n项和为S_n．

(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ) 证明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不构成等比数列．

Answer 1

本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和的公式,同时考查反证法与推理论证能力。满分14分。

(Ⅰ) 解：设等差数列{a_n}的公差为d，则S_n＝na＋，

S₁＝a，S₂＝2a＋d，S₄＝4a＋6d．由于S₁，S₂，S₄成等比数列，因此

＝S₁S₄，即得d (2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．

(1) 当d＝0时，a_n＝a；

(2) 当d＝2a时，a_n＝(2n－1)a．                  …………6分

(Ⅱ) 证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2构成等比数列，即．因此

a²＋mad＋m(m＋1)d²＝0，      ①

(1) 当d＝0时，则a＝0，此时S_m＝S_m＋1＝S_m＋2＝0，与等比数列的定义矛盾；

(2) 当d≠0时，要使数列{a_n}的首项a存在，必有①中的Δ≥0．

然而

Δ＝(md)²－2m(m＋1)d²＝－(2m＋m²)d²＜0，矛盾．

综上所述，对任意正整数n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不构成等比数列．   …………14分