Question

已知两点A（-1，2）、B（m，3）．
（1）求直线AB的斜率k与倾斜角α；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈[--1，-1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵已知直线AB的斜率k与倾斜角α，∴k=tanα==，
当m=-1时，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°．
当m＜-1时，k＜0，由α∈[0°，180° ），α=180°+arctan．
当m＞-1时，k＞0，α=arctan．
（2）当m=-1时，直线的斜率不存在，直线的方程为 x=-1，
当m≠-1时，由两点式求直线的方程 ，即 x-（m+1）y+2m+3=0．
（3）已知实数m∈[--1，-1]，∴-≤m+1≤．
①当m+1≠0时，≤，或 ≤-．
即 tan α≥ 或tan α≤-，
∴90°＞α≥30°，或 90°＜α≤120°．
②当m=-1时，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°．
综上，α∈[30°，120°]．
分析：（1）k=tanα==，分m=-1、m＜-1、m＞-1 三种情况求倾斜角α．
（2）当m=-1时，直线的斜率不存在，写出直线的方程；当m≠-1时，由两点式求直线的方程．
（3）已知实数m∈[--1，-1]，利用不等式的性质求出斜率tanα的范围，再利用正切函数的单调性求出
倾斜角α的范围．
点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，以及用两点式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想．