【题目】已知抛物线的焦点为,为抛物线上异于原点的任意一点,过点的直线交抛物线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为3时,为正三角形.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线,且和抛物线有且只有一个公共点,试问直线是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2).
【解析】分析:第一问根据题意先写出抛物线的焦点坐标,设出点的坐标,利用中点坐标公式求得的中点坐标,利用条件,结合抛物线的定义,可得,从而求得的值,进而得到抛物线的方程;第二问根据题意,结合两直线平行的条件,得到其对应的式子,根据直线过定点的条件得到结果.
详解:(1)由题意知,
设,则的中点为,
因为,由抛物线的定义知:,
解得或(舍去),
由,解得,
所以抛物线的方程为.
(2)由(1)知,设,,
因为,则,
由得,故,
故直线的斜率为,
因为直线和直线平行,
故可设直线的方程为,
代入抛物线方程得,
由题意知,得.
设,则,,
当时,,
可得直线的方程为,
由,整理可得,
所以直线恒过点,
当时,直线的方程为,过点,
所以直线恒过定点.
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【题目】医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物,患者单次服用制定规格的该药物后,其体内的药物浓度随时间的变化情况(如图所示):当时,与的函数关系式为(为常数);当时,与的函数关系式为(为常数).服药后,患者体内的药物浓度为,这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度,才有疗效;而超过最低中毒浓度,患者就会有危险.
(1)首次服药后,药物有疗效的时间是多长?
(2)首次服药1小时后,可否立即再次服用同种规格的这种药物?
(参考数据:,)
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【题目】某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动:在一个不透明的口袋中装入外形一样号
码分别为1,2,3,…,10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球,三球号码有且仅有两个连号的为三等奖,奖金30元;三球号码都连号为二等奖,奖金60元;三球号码分别为1,5,10为一等奖,奖金240元;其余情况无奖金。
(1)求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望;
(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数的方差是多少?
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【题目】设f(x)=|lnx|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点,则实数a的取值范围是( )
A. (0,)B. (,e)C. (,)D. (0,)
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【题目】铁人中学高二学年某学生对其亲属30人饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)
(Ⅰ)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯;
(Ⅱ)根据以上数据完成下列的列联表:
主食蔬菜 | 主食肉类 | 合计 | |
50岁以下人数 | |||
50岁以上人数 | |||
合计人数 |
(Ⅲ)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系?
附:.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】给出如下四个命题:①若“且”为假命题,则均为假命题;②命题“若,则”的否命题为“若,则”; ③“,则”的否定是“,则”;④在中,“”是“”的充要条件.其中正确的命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】某机构为了解某地区中学生在校月消费情况,随机抽取了100名中学生进行调查.右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450),[450,550),[550,650)三个金额段的学生人数成等差数列,将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群” .
(1)求m,n的值,并求这100名学生月消费金额的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关?
高消费群 | 非高消费群 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 50 | |
合计 |
(参考公式:,其中)
P() | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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