Question

（14分）如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）证明：C₁C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC₁=，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（3）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）cosC₁OC=；（3）x=1.

【解析】

试题分析：

（1）证明：设=，=，=，则| |=||，∵=－，

∴·=（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0，

∴C₁C⊥BD.

（2）解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC₁，则∠C₁OC为二面角α—BD—β的平面角.

∵（+），（+）－

∴·（+）·［（+）－］

=（²+2·+²）－·－·

=（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=.

则||=，||=，∴cosC₁OC=

（3）解：设=x，CD=2， 则CC₁=.

∵BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C

∴只须求满足：=0即可.

设=，=，=，

∵=++，=－，

∴=（++）（－）=²+·－·－²=－6，

令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.

考点：本题主要考查向量的坐标运算、数量积、模的概念及计算、夹角公式的应用，考查了考生的空间想象能力、逻辑推理能力。

点评：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.