Question

15．设函数f（x）=（m+1）²x²-mx+m-1．
（1）若f（x）=0有实根，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）＞0解集为空集，求实数m的取值范围；
（3）若f（x）＞0解集为R．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得m+1=0或$\left\{\begin{array}{l}{m+1≠0}\\{（-m）^{2}-4（m+1）（m-1）≥0}\end{array}\right.$．由此能求出实数m的取值范围．
（2）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{△=（-m）^{2}-4（m+1）（m-1）＜0}\end{array}\right.$，由此能求出实数m的取值范围．
（3）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{△=（-m）^{2}-4（m+1）（m-1）＜0}\end{array}\right.$，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=（m+1）x²-mx+m-1=0有实根，
∴m+1=0或$\left\{\begin{array}{l}{m+1≠0}\\{（-m）^{2}-4（m+1）（m-1）≥0}\end{array}\right.$．
解得m=-1或-$\frac{2\sqrt{3}}{3}≤m≤\frac{2\sqrt{3}}{3}$且m≠-1．
∴实数m的取值范围是[-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．
（2）∵f（x）=（m+1）²x²-mx+m-1＞0的解集是∅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{△=（-m）^{2}-4（m+1）（m-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
（3）∵f（x）=（m+1）²x²-mx+m-1＞0解集为R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{△=（-m）^{2}-4（m+1）（m-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴实数m的取值范围是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}，+∞$）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质的合理运用．