Question

10．已知集合A={x|log₂（4x）•log₄$\frac{4}{{x}^{2}}$≥2}，求函数y=4^2x+1+4^x（x∈A）的值域．

Answer 1

分析 根据对数的运算便可由集合A得到log₂x（log₂x+1）≤0，解该不等式便得到$\frac{1}{2}$≤x≤1，从而可得到4^x的范围，可设4^x=t，t的范围由4^x的范围得出，这便得到y=4t²+t，根据该二次函数的单调性便可得出y的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：$lo{g}_{2}（4x）•lo{g}_{4}\frac{4}{{x}^{2}}=（2+lo{g}_{2}x）$$[\frac{1}{2}（2-2lo{g}_{2}x）]$=-log²₂x-log₂x+2≥2；
∴log₂x（log₂x+1）≤0；
∴-1≤log₂x≤0；
∴$\frac{1}{2}≤x≤1$；
∴2≤4^x≤4；
y=4•4^2x+4^x，设4^x=t，2≤t≤4，则：y=4t²+t，设y=f（t）；
f（t）在[2，4]上单调递增；
∴f（2）≤f（t）≤f（4）；
∴18≤f（t）≤68；
∴原函数的值域为[18，68]．

点评 考查对数的运算，对数的换底公式，对数函数、指数函数的单调性，换元法求函数值域，根据二次函数的单调性求值域．