Question

20．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x．
（1）求f（x）的解析式，并画出的f（x）图象；
（2）设g（x）=f（x）-k，利用图象求：当实数k为何值时，函数g（x）有三个零点．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，则-x＞0，由条件求得f（x）的解析式，再根据奇函数的性质求出f（x）的解析式．
（2）由题意可得f（x）的图象和直线y=k有3个交点，数形结合求得k的范围．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，由当x≥0时，f（x）=x²-2x，可得f（-x）=x² +2x，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（-x）=x² +2x=-f（x），
∴f（x）=-x² -2x，∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{-x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）g（x）=f（x）-k有三个零点，即f（x）的图象和直线y=k有3个交点．
由于函数f（x）的极大值为f（-1）=1，极小值 f（1）=-1，如图：
故-1＜k＜1．

点评 本题主要考查求函数的解析式，函数的零点个数的判断，函数的图象的交点，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．