Question

12．已知数列{a_n}（a_n＞1）满足a_n+1=10a_n²，数列{b_n}满足b_n=lga_n+1，且4b₁为b_m与b_k的等比中项（m，k∈N^*），则$\frac{1}{m}+\frac{1}{k}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{25}{6}$
• B． 2
• C． $\frac{7}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 a_n＞1）满足a_n+1=10a_n²，取对数lga_n+1=1+2lga_n，化为lga_n+1+1=2（lga_n+1），可得b_n+1=2b_n．由4b₁为b_m与b_k的等比中项（m，k∈N^*），可得16${b}_{1}^{2}$=b_mb_k，
利用等比数列的通项公式可得：16=2^m-1•2^k-1，化为m+k=6，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a_n＞1）满足a_n+1=10a_n²，
∴lga_n+1=1+2lga_n，
化为lga_n+1+1=2（lga_n+1），
∵数列{b_n}满足b_n=lga_n+1，
∴b_n+1=2b_n，
∴数列{b_n}是等比数列，公比为2．
∵4b₁为b_m与b_k的等比中项（m，k∈N^*），
∴16${b}_{1}^{2}$=b_mb_k，
∴16=2^m-1•2^k-1，
化为m+k-2=4，即m+k=6，
则$\frac{1}{m}+\frac{1}{k}$=$\frac{1}{6}$（m+k）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{k}）$=$\frac{1}{6}$（2+$\frac{k}{m}+\frac{m}{k}$≥$\frac{1}{6}（2+2）$=$\frac{2}{3}$，当且仅当n=m∈N^*时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．