Question

【题目】已知函数图像上有动点，函数图像上有动点.若两点同时从纵坐标的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至两点的纵坐标值再次相等，且始终满足，则在此运动过程中两点的距离的取值范围是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意求出从初始位置出发至两点的纵坐标值再次相等时对应的的取值，进而求得的取值范围，用两点距离公式表示，进而表示成关于的函数，用导数的观点求的取值范围即可.

解：因为动点在函数图像上，动点在函数函数图像上，所以.

由题知：，，.

由当两点同时从纵坐标的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至两点的纵坐标值再次相等时，得，所以，解得或.

所以，当两点同时从纵坐标的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至两点的纵坐标值再次相等时.

，

设，则.

设，

则，由得或.

时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，

此时；

时，，

此时，.

.

故答案为：.