Question

【题目】已知函数，.

（1）求的极值点；

（2）求方程的根的个数.

Answer 1

【答案】（1）时，仅有一个极小值；（2）当时，原方程有2个根；当时，原方程有3个根；当时，原方程有4个根

【解析】

（1）求导得到，计算函数的单调区间得到极值.

（2）令，求导得到在，上时，单调递减，为偶函数，根据零点存在定理得到答案.

（1）的定义域为，由，得，

在内为减函数，在内为增函数，

故仅有一个极小值.

（2）令，

.

当时，，

当时，.

因此在，上时，单调递减，

在，上时，单调递增.

又为偶函数，当时，的极小值为.

当时，，当时，，

当时，，当时，.

由根的存在性定理知，方程在和一定有根，

故的根的情况为：

当时，即时，原方程有2个根；

当时，即时，原方程有3个根.

当时，即时，原方程有4个根.