Question

设函数f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T．
（1）求M，T的值．
（2）20个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=

3

2

M，且x_i＜10π（i=1，2，…，20），求x₁+x₂+…+x₂₀的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，进而通过三角函数性质求得函数最大值和最小正周期．
（2）根据（1）中的结论，求得f（x_i）的值，进而表示出x_i，利用根据k的不同取值求得x_i，最后把所有可能的x_i相加．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=2sin（2x+

π

6

），
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
即M=2，T=

2π

2

=π．
（2）∵f（x_i）=2sin（2x_i+

π

6

）=

3

2

M=

3

2

×2=

3

，
∴sin（2x_i+

π

6

）=

3

2

，
∴2x_i+

π

6

=

π

3

+2kπ（k∈Z）或2x_i+

π

6

=

2π

3

+2kπ（k∈Z），
即x_i=kπ+

π

12

或kπ+

π

4

，
∵x_i＜10π，
∴当x_i=kπ+

π

12

时，k可取0，1，2，…9；当x_i=kπ+

π

4

时，k可取0，1，2，…9，
∴x₁=

π

12

，x₂=π+

π

12

，…x_i=9π+

π

12

，x₁₁=

π

4

，x₁₂=π+

π

4

，…x₂₀=9π+

π

4

，
∴x₁+x₂+…+x₂₀
=（

π

12

+π+

π

12

+…+9π+

π

12

）+（

π

4

+π+

π

4

+…+9π+

π

4

）
=

π

12

×10+

π

4

×10+2（1+2+3+…+9）π
=

π

12

×10+

π

4

×10+2×

(1+9)×9

2

•π=

280π

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．特别是第三问考查了学生推理和运算能力．