Question

在下列命题中：①已知两条不同直线m、n两上不同平面α，β，m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②函数y=sin（2x-

π

6

）图象的一个对称中心为点（

π

3

，0）；③若函数f（x）在R上满足f（x+1）=

1

f(x)

，则f（x）是周期为2的函数；④在△ABC中，若

OA

+

OB

=2

CO

，则S_△ABC=S_△BOC其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：利用平面四边形的内角和为360°求出二面角的平面角为90°，判断出两平面垂直；利用正弦的对称中心是整体角为kπ，判断出②不正确；对于③令等式中的x用x+1代替，求出f（x）的周期；利用向量的运算法则，判断出O为重心，判断出三角形的面积的关系．

解答：解：对于①，直线m，n 确定一个平面与棱交于一个点P，则构成的四边形的四个角都是直角，故二面角的平面角为直角．所以①正确
对于 ②当x=

π

3

时，2x-

π

6

=

π

2

，所以(

π

3

，0)不是对称中心，所以②不正确
对于③，∵f(x+1)=

1

f(x)

∴f(x+2)=

1

f(x+1)

∴f（x+2）=f（x）所以f（x）是周期为2的函数；所以③正确
对于④，∵

OA

+

OB

=2

CO

∴O为△ABC的重心，所以S_△ABC=

1

3

_△BOC，所以④不正确
故答案为：①③

点评：解决三角函数的性质问题常采用的方法是整体角处理的方法；三角形的重心满足到顶点的距离等于到对边中点的距离的二倍．