Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P，Q，R分别是棱B₁C₁，AD，AB的中点，作出过这三点的截面，并求这个截面的周长．

Answer 1

答案：
解析：

分析：三个不共线的点可确定一个平面．画出平面PQR与正方体各棱及延长线的交点，连接交点即为截面． 　　解：如上图，连接QR并延长，分别与CB，CD的延长线交于点E，F，则BE＝DF＝a． 　　连接PE，交BB1于点M，则M为BB1的中点，连接RM．在平面A1B1C1D1中，取D1C1的中点S，连接PS，易证得PS∥QR．故点S必在平面PQR内． 　　连接SF，交DD1于点T，则T为DD1的中点，连接TQ，则六边形PMRQTS为过三点P，Q，R的截面． 　　由于P，M，R，Q，T，S分别为各棱的中点， 　　故六边形PMRQTS为正六边形，且边长为a， 　　所以六边形PMRQTS的周长为6×a＝3a． 　　点评：作截面时，要依靠线面平行、面面平行等知识点找交点、交线．