Question

（2013•泉州模拟）已知△ABC外接圆O的半径为1，且

OA

•

OB

=-

1

2

．
（Ⅰ）求AB边的长及角C的大小；
（Ⅱ）从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为

3 3

4π

，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，可求∠AOB的大小，从而可求AB边的长及角C的大小；
（Ⅱ）利用概率求出三角形的面积，分类讨论，确定∠C=

π

3

，再利用三角形的面积公式及余弦定理，即可判断三角形的形状．

解答：解：（Ⅰ）依题意

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cos∠AOB=-

1

2

，…（2分）
得cos∠AOB=-

1

2

，
又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=

2π

3

，…（4分）
又△AOB为等腰三角形，故AB=

3

，…（5分）
∠C=

1

2

∠AOB=

π

3

或∠C=

1

2

(2π-∠AOB)=

2π

3

．…（6分）
（Ⅱ）依题意，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率P=

S△ABC

S圆O

，
可得S△ABC=

3 3

4

．…（8分）
设BC=a，AC=b．
设∠C=

2π

3

，由S△ABC=

1

2

•ab•sinC=

3 3

4

，得ab=3，…①
由AB²=a²+b²-2abcosC=3，得a²+b²+ab=3，…②
联立①②得a²+b²=0，这是不可能的．
所以必有∠C=

π

3

．…（9分）
由S△ABC=

1

2

•ab•sinC=

3 3

4

，得ab=3，…①
由AB²=a²+b²-2abcosC=3，得a²+b²-ab=3，a²+b²=6…②…（11分）
联立①②解得a=b=

3

．
所以△ABC为等边三角形．…（12分）

点评：本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等．