Question

（2013•泉州模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e₁；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e₂，则e₁+e₂的取值范围为 （　　）

• A．[2，+∞）
• B．（

  5

  ，+∞）
• C．[

  3 3 +1

  2

  ，+∞）
• D．（

  5

  +1，+∞）

Answer 1

分析：根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=

c

a

可表示出e₁，同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e₂的关系式，然后利用换元法求出e₁+e₂的取值范围即可．

解答：解：BD=

AD2+AB2-2AD×ABcos∠DAB

=

1+4x

，
∴a₁=

1+4x -1

2

，c₁=1，a₂=

1+4x +1

2

，c₂=x，
∴e₁=

2

1+4x -1

，e₂=

2x

1+4x +1

，e₁e₂=1
但e₁+e₂≥2

e1e2

中不能取“=”，
∴e₁+e₂=

2

1+4x -1

+

2x

1+4x +1

=

2

1+4x -1

+

1+4x -1

2

，
令t=

1+4x

-1∈（0，

5

-1），则e₁+e₂=

1

2

（t+

4

t

），t∈（0，

5

-1），
∴e₁+e₂∈（

5

，+∞）
∴e₁+e₂的取值范围为（

5

，+∞）．
故选B．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．