精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的离心率为e=
3
3
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,证明:k1•k2为定值.
分析:(I)写出圆的方程,利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值,利用椭圆的离心率公式得到a,c的关系,再利用椭圆本身三个参数的关系求出a,c的值,将a,b的值代入椭圆的方程即可.
(II)设出P的坐标,将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系,写出A,B的坐标,利用两点连线的斜率公式求出
k1,k2,将P的坐标的关系代入k1k2化简求出其值.
解答:(Ⅰ)解:由题意,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2
∵直线x-y+2=0与圆相切,∴d=
2
2
=b
,即b=
2

e=
c
a
=
3
3
,即a=
3
c

∵a2=b2+c2
a=
3
,c=1,
所以椭圆方程为
x2
3
+
y2
2
=1

(Ⅱ)证明:设P(x0,y0)(y0≠0),A(-
3
,0)
B(
3
,0)

x
2
0
3
+
y
2
0
2
=1
,即
y
2
0
=2-
2
3
x
2
0

∵直线PA与PB的斜率分别为k1,k2
k1=
y0
x0+
3
k2=
y0
x0-
3

k1k2=
y
2
0
x
2
0
-3
=
2-
2
3
x
2
0
x
2
0
-3
=
2
3
(3-
x
2
0
)
x
2
0
-3
=-
2
3

∴k1•k2为定值-
2
3
点评:本题重点考查圆锥曲线的方程,考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线的斜率,解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,且经过点P(1,
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)设F是椭圆C的左焦,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短轴长为2
3
,右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B是椭圆C上的不同两点,点D(-4,0),且满足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直线AB的斜率的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),且离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•房山区二模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长为2,离心率为
2
2
,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=
AP+BQ
PQ
,若直线l的斜率k≥
3
,则λ的取值范围为
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案