Question

若f（x）=x²-4x-5．
（1）若f（x）＞-8，求x的取值范围；   （2）若f（a）=f（b），且a≠b，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）由（1）中f（x）=x²-4x-5，根据f（x）＞-8，构造一元二次不等式，解不等式即可得到x的取值范围；   
（2）法一：若f（a）=f（b），且a≠b，则a，b关于对称轴对称，根据二次函数的性质，求出函数图象对称轴的方程，易得答案．
法二：由f（x）=x²-4x-5，f（a）=f（b），且a≠b，构造方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（1）由f（x）＞-8，得x²-4x+3＞0，（2分）
令x²-4x+3=0，得x₁=1，x₂=3．（4分）
所以x²-4x+3＞0的解集是{x|x＜1或x＞3}
因此x的取值范围：{x|x＜1或x＞3}（6分）
（2）法一：函数f（x）=x²-4x-5的对称轴是x=-

-4

2×1

=2（8分）
由f（a）=f（b），且a≠b，知（a，f（a））和（b，f（b））关于直线x=2对称，（10分）
故a+b=4（12分）
法二：由f（a）=f（b），得a²-4a-5=b²-4b-5（8分）
于是a²-b²=4a-4b，
即（a+b）（a-b）=4（a-b），（10分）
又a≠b，所以a+b=4（12分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，熟练掌握二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的转化关系，是解答本题的关键．