椭圆 $数学公式$ 的焦点为F₁和F₂，过点F₁的直线l交椭圆于P，Q两点，且 $数学公式$ ， $数学公式$ ，则椭圆的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：利用椭圆的定义可求得直角三角形PQF₂的周长，进一步可求得|PF₂|与|PF₁|，在直角三角形PF₁F₂中可求得|F₁F₂|，从而可求得答案．
解答：由椭圆的定义得：|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a，

∴△PQF₂的周长为l=4a；
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴△PQF₂为等腰直角三角形，设|PF₂|=x，
则x+x+ $\text{[math]}$ x=4a，
∴x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=2a-|PF₂|=2a- $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a，
∵△PF₁F₂为直角三角形，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =2c= $\text{[math]}$ a，
∴该椭圆的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
故选B．
点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|F₁F₂|的长度是关键，也是难点，考查综合分析与运算的能力，属于难题．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁

=1以抛物线y2=4

x的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=

y异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知椭圆

α 2

y 2

α2-1

=1(a＞1)的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M，直线F₁M与抛物线C相切．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M的坐标；
（Ⅱ）过F₂作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE，设弦AB、DE的中点分别为F、N，求证直线FN恒过定点．

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科目：高中数学 来源：2010年北京大学附中高考数学考前猜题试卷（解析版） 题型：解答题

如图，已知椭圆

的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆

和

判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且半短轴长为b的椭圆C_b的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．