Question

9．构造等比数列：已知a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ，求a_n．

Answer 1

分析 把已知数列递推式两边同时除以2ⁿ⁺¹，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，换元后构造等比数列{b_n+1}，求其通项公式后得a_n．

解答 解：由a_n+1=3a_n+2ⁿ，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，
令${b}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，则${b}_{n+1}=\frac{3}{2}{b}_{n}$+$\frac{1}{2}$，
∴${b}_{n+1}+1=\frac{3}{2}（{b}_{n}+1）$．
∵${b}_{1}+1=\frac{{a}_{1}}{2}+1=\frac{3}{2}$≠0．
∴数列{b_n+1}构成以$\frac{3}{2}$为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列．
则${b}_{n}+1=（\frac{3}{2}）^{n}$，即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（\frac{3}{2}）^{n}-1$，
∴${a}_{n}={3}^{n}-{2}^{n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．