Question

1．设函数$f（x）=\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}+tanθ$，其中$θ∈（{\frac{π}{6}\;，\;\frac{π}{2}}]$，则f'（1）的取值范围是[1，2）．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到f′（1），利用辅助角公式化积后由θ得范围求得答案．

解答 解∵f′（x）=sinθ•x²+$\sqrt{3}$cosθ•x，
∴f′（1）=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）．
∵θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴θ+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1）．
∴2sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[1，2）．
故答案为：[1，2）．

点评 本题考查导数的运算，考查了三角函数的值域，是基础的计算题．