Question

（本小题12分）如图，已知直角梯形中，且，又分别为的中点，将△沿折叠，使得.

（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDE；

（Ⅱ）求证：FG∥平面BCD；

（Ⅲ）在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB， 并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）（Ⅱ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等．证明直线和平面垂直的常用方法：（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推论．（3）利用面面平行的性质．（4）利用面面垂直的性质.（Ⅲ）判定面面垂直的方法（1）面面垂直的定义，即证两平面所成的二面角为直角；（2）面面垂直的判定定理

试题解析：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.

∵DE∩EC＝E，DE、EC?平面DCE. 2分

∴AE⊥平面CDE. 4分

（2）取AB中点H，连接GH、FH，

∴GH∥BD，FH∥BC，

又GH∩FH＝H，

∴平面FHG∥平面BCD， 7分

∴GF∥平面BCD. 8分

（3）取线段AE的中点R，则平面BDR⊥平面DCB

取线段DC的中点M,取线段DB中点H,连接MH,RH,BR,DR

在△DEC中，

∵M为线段DC,H为线段DB中点，R为线段AE中点

又,

∴ RH⊥DC 10分

∴ RH⊥面DCB 11分

∵ RH?平面DRB

平面DRB⊥平面DCB

即 取AE中点R时，有平面DBR⊥平面DCB 12分

（其它正确答案请酌情给分）

考点：立体几何综合应用