Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

最大时，求n的值．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的性质把a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25转化为a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，求出a₃+a₅=5，再利用a₃与a₅的等比中项为2即可首项和公比，进而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先利用（1）求出数列{b_n}的通项公式以及前n项和为S_n，，进而得到

sn

n

的通项，即可求出当

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

最大时，对应n的值．

解答：解：（1）因为a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，所以，a₃²+2a₃a₅+a₅²=25
又a_n＞o，a₃+a₅=5，（3分）
又a₃与a₅的等比中项为2，所以，a₃a₅=4
而q∈（0，1），所以，a₃＞a₅，所以，a₃=4，a₅=1，q=

1

2

，a₁=16，
所以，a_n=16×(

1

2

)n-1=2^5-n（6分）
（2）b_n=log₂a_n=5-n，所以，b_n+1-b_n=-1，
所以，{b_n}是以4为首项，-1为公差的等差数列（8分）
所以s_n=

n(9-n)

2

?

sn

n

=

9-n

2

（10分）
所以，当n≤8时，

sn

n

＞0，
当n=9时，

sn

n

=0，
n＞9时，

sn

n

＜0，
当n=8或9时，

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

最大．　　（13分）

点评：本题第一问考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的应用．在等差数列、等比数列问题中基本量是解题的关键，一般是根据已知条件把基本量求出来，然后在解决问题．