Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R），
（1）若f（-1）=0，且对于任意的x，f（x）≥0恒成立，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=a-b+1=0，解得 b=a+1，再由f（x）≥0恒成立，可得

a＞0 △=(a-1)2≤0

，求得a的值，可得 b=2a的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）由于当x∈[-2，2]时，根据g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1 是单调函数，可得 

k-2

2

≤-2，或

k-2

2

≥2，由此求得k的范围．

解答：解：（1）由f（-1）=a-b+1=0，解得 b=a+1，故 函数f（x）=ax²+（a+1）x+1．
再由f（x）≥0恒成立，可得

a＞0 △=(a-1)2≤0

，求得a=1，可得 b=2，
∴f（x）=x²+2x+1．
（2）由于当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1 是单调函数，
∴

k-2

2

≤-2，或

k-2

2

≥2．
解得 k≤-2，或 k≥6．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，函数的恒成立问题，属于基础题．