Question

已知命题p：?x₀∈[-1，1]，满足

x

2 0

+x0-a+1＞0，命题q：?t∈（0，1），方程x2+

y2

(t-a)(t-a-2)+1

=1都表示焦点在y轴上的椭圆．若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：若命题p为真，仅须(x02+x0-a+1)max＞0，根据二次函数的图象和性质可得实数a的取值范围；根据椭圆的标准方程，可得命题q为真时，（t-a）（t-a-2）+1＞1．进而根据命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．

解答：解：因为?x₀∈[-1，1]，满足x02+x0-a+1＞0，
所以只须(x02+x0-a+1)max＞0
即3-a＞0，
所以命题p：a＜3；
因为?t∈（0，1），方程x2+

y2

(t-a)(t-a-2)+1

=1都表示焦点在y轴上的椭圆，
所以（t-a）（t-a-2）+1＞1
即（t-a）（t-a-2）+1＞0对?t∈（0，1）恒成立；
所以命题q：a≤-2，或a≥1
若p真q假，得

a＜3 -2＜a＜1

，即-2＜a＜1；
若p假q真，得

a≥3 a≤-2或a≥1

，即a≥3；
综上所述，a∈（-2，1）∪[3，+∞）；

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，命题的真假判断与应用，其中根据存在性命题及函数恒成立问题求出对应的实数a的取值范围是解答的关键．