Question

已知函数f（x）=2•a^4-x，（a＞0且a≠1），当且仅当点P（x₀，y₀）在函数f（x）=2•a^4-x的图象时，点Q(-

1

3

x0，

1

2

y0)在函数y=g（x）图象上．
（1）求函数y=g（x）的解析式．
（2）求g（x）＞1的解集．

Answer 1

分析：（1）设（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，根据点P（x₀，y₀）在函数f（x）=2•a^4-x的图象时，点Q(-

1

3

x0，

1

2

y0)在函数y=g（x）图象上，得到x₀=-3x，y₀=2y，
代入函数f（x）=2•a^4-x，即可求得函数y=g（x）的解析式；（2）根据（1），对a＞1和0a＜1进行讨论解不等式a^4+3x＞a⁰=1，即可求得结果．

解答：解：（1）设（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，
由已知可知x=-

1

3

x0，y=

1

2

y0，
所以x₀=-3x，y₀=2y，
又因为P（x₀，y₀）在函数f（x）=2•a^4-x的图象．
所以2y=2a^4+3x，g（x）=a^4+3x
（2）g（x）＞1，g（x）=a^4+3x＞a⁰=1
当a＞1时，4+3x＞0，解集为{x|x＞-

4

3

，x∈R}
当0＜a＜1时，4+3x＜0，解集为{x|x＜-

4

3

，x∈R}

点评：此题考查代入法求函数解析式以及利用指数函数的单调性解指数不等式，体现了分类讨论的思想，同时考查了运算能力，属中档题．