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试题

如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且 $数学公式$ ， $数学公式$ ，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则 $数学公式$ 的最小值为________．

$\text{[math]}$
分析：由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．连接AM、AN，利用三角形中线的性质，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），进而得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1-m） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-n） $\text{[math]}$ ．将此式平方，代入题中数据化简可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1-m）²- $\text{[math]}$ （1-m）（1-n）+ $\text{[math]}$ （1-n）²，结合m+4n=1消去m，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ n²- $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$ ，结合二次函数的性质可得当n= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
解答：

解：连接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos120°=- $\text{[math]}$
∵AM是△AEF的中线，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
同理，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
由此可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1-m） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-n） $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =[ $\text{[math]}$ （1-m） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-n） $\text{[math]}$ ]²= $\text{[math]}$ （1-m）²+ $\text{[math]}$ （1-m）（1-n） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-n）²= $\text{[math]}$ （1-m）²- $\text{[math]}$ （1-m）（1-n）+ $\text{[math]}$ （1-n）²，
∵m+4n=1，可得1-m=4n
∴代入上式得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（4n）²- $\text{[math]}$ ×4n（1-n）+ $\text{[math]}$ （1-n）²= $\text{[math]}$ n²- $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$
∵m，n∈（0，1），
∴当n= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出含有120度等腰三角形中的向量，求向量 $\text{[math]}$ 模的最小值，着重考查了平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题．

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如图，在等腰直角三角形ABC中，则AM＜AC的概率为（　　）

A．

2

B．

3

4

C．

2

3

D．

1

2

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（2013•徐州一模）如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且

AE

=m

AB

，

AF

=n

AC

，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则|

MN

|的最小值为

7

．

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如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且

，

，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则

的最小值为．

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如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则的最小值为________．

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