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如图,在三棱锥A-BCD中,△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形,O为BD的中点,且AB=AD=CB=CD=2,AC=

(1)当时,求证:AO⊥平面BCD;

(2)当二面角的大小为时,求二面角的正切值.

 

【答案】

(1)先证 AO⊥CO, AO⊥BD   (2)

【解析】

试题分析:(1)根据题意知,在△AOC中,

所以,所以AO⊥CO.

因为AO是等腰直角E角形ABD的中线,所以AO⊥BD.

又BDCO=O,所以AO⊥平面BCD.

(2)法一 由题易知,CO⊥OD.如图,以O为原点,

OC、OD所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系

则有O(0,0,0),

,则

设平面ABD的法向量为

所以,令,则

所以

因为平面BCD的一个法向量为

且二面角的大小为,所以

,整理得

因为,所以

解得,所以

设平面ABC的法向量为

因为

,则.所以

设二面角的平面角为,则

所以,即二面角的正切值为

法二 在△ABD中,BD⊥AO,在△BCD中,BD⊥CO,

所以∠AOC是二面角的平面角,即∠AOC=

如图,过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H,

因为BD⊥CO,BD⊥AO,且COAO=O,

所以BD⊥平面AOC.

因为AH平面AOC,所以BD⊥AH.

又CO⊥AH,且COBD=O,所以AH⊥平面BCD.

过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK.

因为BC⊥AH,AKAH=A,所以BC⊥平面AHK.

因为HK平面AHK,所以BC⊥HK,

所以∠AKH为二面角的平面角.

在△AOH中,∠AOH=,则

所以

在R t△CHK中,∠HCK=,所以

在 R t△AHK中,

所以二面角的正切值为

考点:直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.

点评:本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、直线与平面所成的角等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

 

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,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形
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