Question

1．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3＜0}\\{x-2y-3≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$表示的平面区域为Ω₁，平面区域Ω₂与Ω₁关于直线2x+y=0对称，对于任意的C∈Ω₁，D∈Ω₂，则|CD|的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意作出可行域，数形结合得到的平面区域是Ω₁内到直线2x+y=0距离最小的点，由点到直线的距离公式求得答案．

解答 解：由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3＜0}\\{x-2y-3≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

由图可知，可行域Ω₁内的点A（1，-1）到直线2x+y=0的距离最小，
则Ω₂中的点B与Ω₁内的点A的距离的最小值为A到直线2x+y=0的距离的2倍．
|AB|的最小值等于2×$\frac{|2-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．