Question

【题目】已知数列满足，，.

（1）若.

①求数列的通项公式；

②证明：对， .

（2）若，且对，有，证明：.

Answer 1

【答案】（1）①；②证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）①当时，，两边取倒数，再根据数列递推关系，可得出数列是首项为2，公差为1的等差数列，即可求出数列的通项公式；

②由①知，利用裂项公式整理得出，则对，根据裂项相消法即可求出；

（2）当时，，则，由于，则，根据基本不等式得出，化简整理有，最后再利用基本不等式，即可证明出.

解：（1）①当时，，

∵，∴，依此类推，

∴，∴，

∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，

∴，即，

②证明：由①知，故对

，

∴

＝

＝，

（2）证明：当时，，

则，

∵，则，得，

∴

＝

＝，

∵与不能同时成立，所以上式“＝”不成立，

即对，.